기하학 (고대그리스어: γεωμετρία) 5

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2020. 5. 13.

Carl_Friedrich_Gauss 카를 프리드리히 가우스

 

미분 기하학

또한 18 세기 말에는 미적분과 변분 학 등 해석학의 성과가 기하학적에 응용되어 몬제( Gaspard Monge, 1746 5 9 - 1818 7 28 )에 의한 곡선과 곡면의 미분 기하학의 개척이 이루어졌다. 19 세기 초반에는 가우스(독일어: Johann Carl Friedrich Gauß listen, 라틴어: Carolus Fridericus Gauss, 1777 4 30 - 1855 2 23 ) 에 의해 곡면의 곡률 등이 요구되고, 미분 기하학이 본격적으로 연구 되었다.

Hyperbolic_triangle. 초보적인 미분 기하학에서 수학이 기하학에 응용되었다.

 

종합 기하학

이처럼 데카르트에 의해 그 기초를 제시하고 대수적 해석으로 취급하는 강력한 방법을 제공 한 분석 기하학이다, 분석 기하학이 기하학 연구에서 절대적인 방법은 아니었다. 분석 기하학과 같이 좌표를 도입하지 않고 유클리드 기하학처럼 직접 도형을 연구하는 방법도 해석 기하학 정도는 메이저가 아니었지만 이루어지고 있었다. 이러한 방법을 종합 기하학 (synthetic geometry) 또는 순수 기하학 (pure geometry)이라고 한다.

 

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순수 기하학의 새로운 개념은 원근법(영어: perspective)을 발단으로 17 세기에 지라르 데자르그(Desargues) 와 파스칼에 의해 시작된 투영 기하학(영어: projective geometry)을 들 수 있다. 18 세기에는 가스파르 몽주 ( Gaspard Monge , 1746 5 9 - 1818 7 28 )와 장 빅토르 퐁슬레 ( Jean-Victor Poncelet, 1788 7 1 - 1867 12 22 )에 의해 투영 기하학은 더욱 연구되어 19 세기에 들어서도 슈타이너( Rudolf Steiner , 1861 2 27 - 1925 3 30 (64 세 사망))는 종합 기하학을 중시하였다. 20 세기에 들어서도 종합 기하학을 중시 한 자로서 코세타 (Harold Scott MacDonald Coxeter, 1907 - 2003 ) 을들 수 있다. 이외에도 랭글리의 문제(Edward Mann Langley) 등은 20 세기에 들어서면서 나온 문제이다.

 

Teorema_de_desargues. 투영 기하학에서 중요한 데 자르 그의 정리 에 관한 그림.

 

비 유클리드 기하학

오랫동안 원론의 평행선 공리는 기하학에서 문제가 되었지만, 이 공리를 다른 공리로부터 도출하려는 시도는 모두 좌절됐다. 만약 평행선 공리를 다른 공리계에서 도출 할 것이라고 시도하였으나 실패한 셈이다. 19 세기에 들어서 간신히 다른 공리는 그대로 평행선 공리만을 그 부정 명제로 치환해도 유클리드 기하학을 닮은 기하학적 성립을 할 수 있었다. 보야이 야노시 (Bolyai János [boːjɒiˌ̈ːnoʃ], 1802 12 15 - 1860 1 27 )와 니콜라이 이바노비치 로바체프스키 (Николай Иванович Лобачевский, Nikolai Ivanovich Lobachevsky, 1792 12 1 - 1856 2 24 (양력) / 1792 11 20 - 1856 2 12 )에 의해 지명되고, 비 유클리드 기하학(non-Euclidean geometry)이 탄생했다.

 

Parallel_postulate_en. 각 α와 각도 β의 합이 180도보다 작 으면, 점선 방향으로 선을 연장하면 두 직선은 언젠가 반드시 교통이라는 것이 평행선 공리다.

Langley_problem 랭글리 문제

 

비 유클리드 기하학의 무 모순 가능성은 유클리드 기하학의 무 모순에 의존하고 후자가 무 모순 경우 전자도 무 모순이라고 되어 양자의 차이는 단순한 체중의 차이에 불과한 것으로 밝혀지게 되었다.

Perspectiva-2 대상물에서 광선이 화면을 관철 시점에 닿는 모습. 투시도 법의 기본 개념을 나타낸다.