기하학 (고대그리스어: γεωμετρία) 6(마지막)

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2020. 5. 14.

 

기하학의 기초론

기하학은 도형으로 직감에 따라 연구되지만, 직관적 만을 기준으로 연구 할 수는 없다. 따라서 모호한 직감이 아니라 명확하게 말이나 정의에 의해 나타내고 정의와 공리에 따라 기하학을 체계화하려는 시도는 이미 유클리드에 의해 만들어진 것이지만, 현대에서 보면 이것은 불완전한 것이었다.

19 세기에 들어 비판적 정신이나 수학 자체의 발달로 유클리드 기하학의 공리가 사실 논리적으로 불완전하다는 것을 지적했다. 평행선 공리 문제와 비 유클리드 기하학의 탄생도 그런 흐름의 하나로들 수 있을 것이다. 수학자에게 공리계가 논리적으로 불완전한 경우 올바른 방법으로 증명 한 정리도 모순이 나와 버리기 때문에, 이것이 모순되지 않는 공리계탐구가 열린 셈이다 . 그 탐구의 목적은 기하학을 공리계의 발견과 그 공리계에 의해 구성된 기하학적 구조, 나아가서는 그러한 여러 공리사이의 관계 (유클리드 기하학과 비 유클리드 기하학과의 관계 같은)였다.

 

Hilbert 기하학 기초 론을 연구 한 힐베르트

 

19 세기 후반부터 그 다양한 제안이 제출되어 왔으나 가장 결정적이었던 것이 19 세기 후반부터 20 세기 초반에는 힐베르트(독일어; David Hilbert, 1862 1 23 - 1943 2 14 ) 에 의해 제창 된 것이며 그 성과 저서 "기하학의 기초 "그 성과로 정리되었다.

 

Spacetime_curvature 질량 (지구)가 2 차원으로 그린 ​​격자 모양의 평면에 떨어 뜨린 상태를 묘사 한 설명도. 그 설명도 봐도 알 수 있듯이, 격자 모양을 왜곡하고있는 모습이 눈에 보이지 게다가 왜곡 격자 무늬 자체가 중력으로 해석 할 수있다. 이 설명도 일반인도 이해할 수 있도록 비유한다면 무거운 물건이 트램폴린에 가라 앉는 상태와 동일하다.

 

힐베르트는 논리적 일관성을 위해 감각에서 완전히 분리 된 기하학을 제기한 이 책에서는 점이나 선 등의 용어를 책상이나 의자 등으로 바꾸는 조차 성립한다고까지 말했다. 그림조차 전혀 존재하지 않는 초등 기하학의 기초부는 장 디외도네 (프랑스어: Jean Alexandre Eugène Dieudonné, 1906 7 1 - 1992 11 29 ) "선형 대수학과 초등 기하학 '이다. 디외도네 책에는 그림조차 존재하지 않고, 어떤 의미나 용어조차 무의미하다는 힐베르트의 정신을 구현하고 있다고 할 수 있다.

이러한 한계까지의 고찰을 통해 공리는 "모두가 인정 수있는 진리 '가 아니라'이론을 구성하는 근본 요구 '라는 생각에 변화 해 갔다.

이러한 극단적으로 구체적인 예를 경시하고 형식주의에 달리는 기술은 오늘날의 공리주의적 수학의 선구자라고 볼 수 있다. 그러나 구체적인 예와 수학적 직관을 경시하는 것이 나쁜 것이 아니라, 어디 까지나 공리계 대부분의 수학자에게 문제이며, 따라서 수학의 기초와 증명 등의 근본적인 부분에 그 비판을 하게 된 것이다. 공리계가 일치하지 않는 경우 제대로 시작했는데 이상한 결과가 나올지도 모른다거나, 이 방법은 기하학 기초론에서 발단이 되었지만 같은 시기에 문제가 된 집합론의 패러독스도 함께 기하학에 그치지 않고 수학 기초론(영어: foundations of mathematics)으로 힐베르트들에 의해 연구가 계속되게 되었다.

 

Color_complex_plot 복소 해석학

 

고차원 기하학

해석 기하학 차원 유클리드 공간 의 기하학 공간 기하학 (space geometry) 또는 입체 기하학 (solid geometry)이라고 2차원 유클리드 공간의 기하학은 평면 기하학 (plane geometry)이라는. 이것을 일반화하여 n 개의 실수 쌍에서 n 차원 공간의 점을 정의하고 임의의 두 점 사이의 거리를 정하여 n 차원 유클리드 공간을 구성 할 수 있다. 마찬가지로 n 차원 공간은 유클리드 기하학과 투영 기하학에 대해서도 결정할 수 있다.

이 같은 다양한 공간의 연구는 19 세기 중반에 본격적으로 행해져 리먼 (독일어: Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826 9 17 - 1866 7 20 )n 차원의 굽은 공간에서 매니폴드(영어: manifold, 독일: Mannigfaltigkeit, 매니 폴드에 좌표를 그리는 작업은 지구에서 지도를 만드는 작업과 비슷하다.)의 개념을 도입하고 무게로 접 벡터 간의 내적으로 곡률을 정의했다. 이러한 다양한 기하학은 아인슈타인이 일반 상대성 이론(독일: allgemeine Relativitätstheorie, 영어: general theory of relativity)의 연구를 수행 할 때 수학적 도구를 제공했다. 더 일반적으로는 P · 휜스라는 접 벡터의 규범을 계량하는 핀 슬러 매니 폴드(Finsler manifold)의 개념을 제창했다.

 

Topological_space_examples. 집합 {1,2,3}에서, 열린 집합의 공리를 만족 부분 집합의 부족과 맞지 않는 족의 예. 위 이층의 예는 각각 열린 집합의 공리를 충족하고 있지만, 하단의 예는 왼쪽은 {2}와 {3}의 합집합이다 {2,3}이 들어 있지 않기 때문에, 오른쪽은 {1,2}과 {2,3}의 공통 부분이다 {2}이 들어 있지 않기 때문에 모두 열린 집합의 공리를 만족한다.

 

현대 기하학

클라인 (Felix Christian Klein, 1849 4 25 - 1925 6 22 ) 기하학에 그룹 이론을 응용하여 공간 S의 변환 군 G에 의해 변환에 불변 한 성질을 연구하는 기하학을 제창했다. 이를 에를 랑겐 프로그램(독일: Erlanger Programm, 영어: Erlangen program) 하는데, 이 방법 운동 군이 유클리드 기하학을 결정하는 것을 투영 기하학, 아핀 기하학, 공 모양 기하학을 통일화 할 수 있다.

또한 19 세기 말에는 푸앵카레 (프랑스어: Jules-Henri Poincaré, 1854 4 29 - 1912 7 17 ) 에 의해 지속적인 변화에 따라 불변인 성질을 연구하는 위상 수학이 개척 되었다.

대수 곡선 곡면이나 대수 다양체가 원산지인 대수 기하학은 고도로 발달 한 활발히 연구 되고있다.

또한 민코프스키 (Hermann Minkowski, 1864 6 22 - 1909 1 12 )에 따르면 체 연구는 정수론 기하학 (프랑스어 : géométrie arithmétique)의 길을 열었다.

20 세기 전반에는 매니폴드는 수학적으로 엄밀하게 책정되어 웨일 , E · 카탄 들에 의해 다양체의 기하학과 현대 미분 기하학이 활발하게 연구 되었다. 마리우스 소푸스 리 (Marius Sophus Lie, 1842 12 17 - 1899 2 18 )에 의해 도입 된 리 군 은 이러한 다양한 기하학적 불변하는 변환 군이 주어졌지만, 카탄 리 군을 응용하여 연결의 개념을 도입 연결 기하학 을 완성하였고 이러한 기하학을 통일화하는데 성공했다. 이는 리먼 의한 매니 폴드와 클라인 의한 변환 군의 생각을 통일화 한 것으로도 이해할 수 있다. 이것은 현대는 소립자 물리학(영어: particle physics) 등의 물리학의 여러 분야에서도 상식이 되고 있다.

또한 대수학과 해석학의 발전도 동반하여 매니폴드의 대수구조 와 위상구조(영어: topological space)와의 관계를 연구하는 전역 미분 기하학, 복소 해석학(영어: complex analysis)과 관련된 복소다양체 이론, 고전 역학의 동적 시스템 과 관련된 신 멀티플렉싱 틱 기하학 (영어: symplectic geometry) 과 연결 기하학, 측정 이론 과 관련하여 적분 기하학 과 측도의 기하학적 연구다. 기하학적 측정 이론 연구도 이 무렵에 시작되었다.

20 세기 후반이 되면서 매니폴드의 미분이 가능한 구조와 역학계 미분 연산자 등을 위 기하학과도 관계하면서 연구가 진행되었다. 그밖에도 기하 구조를 이루는 모듈러스 공간이나 특이점을 포함한 공간의 연구, 물리학과 관련된 연구와 사색문제에 볼 수 있도록 컴퓨터를 이용한 연구도 있었다.

체 기하학과 조합 기하학의 방법은 현대에서 오퍼레이션 리서치(영어: operations research) 등의 응용 수학 분야에서도 이용되고 있다.

 

Togliatti_surface 대수 기하학에 등장하는 그림

 

기하학의 여러 분야

현재는 기하학의 여러 분야는 수천에 이르고, 그 모든 것을 열거하는 것은 도저히 불가능하다.