파깨비의 철학 이야기

저(파깨비)가 좋아하는 철학, 그리고 그 주변의 것들에 대한 블로그입니다.

4) 연역논증의 도구와 기술들: 고급논리학(1차술어논리)

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논리와 비판적 사고

2011. 6. 15.

<내용을 갖다 붙이기 하니까 표가 모두 깨어지는군요. 표와 그림이 제대로 되어 있는 내용을 보려면

http://pakebi.com/writing/critic/a04-firstlogic.html?PHPSESSID=9bf30c3c4308c61ef9be05378b78d998

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지금 우리는 무엇을 하고 있는가? 지금 우리가 배우고 있는 것은 ‘절대로 올바른 생각의 길’ 정도로 설명할 수 있다. 처음부터 우리는 논증에 대해서 생각해왔다. 그 논증이 문제의 어떤 논점에, 어떤 방식으로 초점을 맞출 것인가에 대해서 알려주는 것이 생각의 구구단이었다. 일단 논증의 초점이 결정되었으면 구체적으로 논증이 이루어지는데, 거기에서 의심의 여지없이 옳은 논증의 방식이 있다. 그것이 곧 연역논증이다. 지금 우리는 그 도구와 기술들을 배우고 있는 중이다. 왜 이렇게 복잡하고 어렵냐구? 그 근원은 바르게 생각하는 것 자체가 원래 어렵기 때문이다. 그 때문에 여러분들은 지금 이 책을 읽으며 바르게 생각하는 것을 공부하고 있는 것 아닌가. 그럼 (명제논리에서 보듯이) 왜 이렇게 쉽게 생각할 수 있는 것까지 복잡하게 생각하느냐구? 일상적인 사고로 쉽게 생각할 수 있는 것도 있지만 일상적인 사고로는 도저히 풀어내고 답을 찾을 수 없는 복잡한 문제를 해결할 생각의 도구와 기술을 얻기 위해서이다. 이것 역시 어차피 최종적인 목적이 아니겠는가? 단지 그런 강력한 도구와 기술이, 쉬운 문제에 대해서도 틀림이 없다는 것을 확인할 뿐이다. 그리고 그런 도구와 기술들이 항상 옳을 수 있다는 것을 확인하고 있을 뿐이다. 천리 길을 여행해야 하는데, 당장 걸어서 출발하지 않고 자동차에 기름을 넣고 있는 사람은 바보가 아니다. 걸어서 몇 발자국 먼저 출발하는 사람이 빠를 것 같아 보여도 결국에 ‘천리 길을 가려면’ 목표와는 무관해 보이는 행동, 차에 기름을 넣고 정비를 하는 행동이 더 현명한 선택일 것이다. 지금 어려운 논리학을 배우는 것도 이와 같다.

자, 지금까지 설명한 명제논리의 내용이 광활한 생각의 세계를 여행하는데 도움이 되는 적토마에 해당된다면 이제 설명할 것은 페라리같은 명차에 해당한다. 하지만 불행히도 이 명차의 이름은 ‘페라리’가 아니다. 오히려 “1차 술어논리”라는, 칙칙한 이름이다. ‘1차 술어 논리’도 있다면 ‘2차 술어 논리’도 있다는 말인가? 그렇다. 2차 술어 논리는 페라리급이 아니라 오히려 보잉747같은 제트기급에 해당한다. 잘못 운전하면 땅에 추락한다. 자동차 운전 면허증은 보통 사람들이 어렵지 않게 딸 수 있지만 비행기 조종사 자격증은 전문 인력들에게만 가능하다. 2차 술어 논리도 그렇다. 그 내용을 알고 싶으면 대학교 철학과로 가라. 여기서는 그런 것 다루지 않을 것이다.

논리학을 자동차에 비유하는 것은 여러 모로 적절하다. 여행을 위해서 자동차를 준비하는 것에도 여러 수준이 있듯이 1차 술어 논리학을 배우는 것에도 여러 수준이 있다. 자동차의 경우에 단순히 2종 보통 면허를 딸 수도 있지만, 경주용 자동차를 몰 수 있는 자격증을 딸 수도 있을 것이고, 더 나아가서 자동차 정비기술 자격증을 딸 수도 있을 것이다. 정말 멀고 먼 여행을 하고자 한다면 정비자격증이 필요할 것이다. 낯선 이국땅에서 자동차가 고장나면 스스로 고칠 수 있어야 할 테니까 말이다. 잡담이 길었지만 겁먹을 필요는 없다. 여기서는 2급 보통 운전면허증 정도의 고급 논리학을 설명할 것이다. 결국 그 말을 하고 싶었다. 더 많은 것은 논리학책을 별도로 읽으라는 이야기를 말이다.

명제 논리학이 ‘적토마’급에 해당하는 강력한 도구와 기술이기는 하지만 어딘가 부족하다. 어디가 부족하지? 소크라테스의 죽음에 대한 3단 논법도 사실은 정확히 번역할 수 없다는 점이 핵심이다.

 

 


모든 사람은 죽는다.(대전제)
소크라테스는 사람이다.(소전제)
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그러므로 소크라테스는 죽는다(결론)

 

 


대전제가 무엇인가? “모든 사람은 죽는다”라는 것이다. “…이면”이나 “…또는” 등의 접속사가 없다. 소전제도 그렇다. 하나의 명제이다. 명제논리로 이것을 형식화한다면 대전제를 P, 소전제를 Q, 결론을 R로 번역할 수밖에 없다. 그리고 P, Q에서 R을 연역하는 것은 논리적으로 타당하지 않다. 하지만 원래의 3단논법은 논리적으로 타당하지 않은가.

이런 문제에 대해서도 많은 사람들이 역시 2천 년 동안 생각해 왔다. 그리고 이런 사고의 형식을 법칙으로 만들기 위해서, 나중에 배울 환위와 환질 등과 같은 잡다한 법칙들을 만들었다. 그러나 만족스럽지는 않았다. 그러다가, 프레게(G. Frege)라는 학자가 나타나서 ‘양화논리’ 혹은 ‘술어논리’라는 것을 만듦으로써 이 문제가 한 방에 해결되었다. 논리학의 역사의 흐름은 그렇다.

내용으로 바로 들어가자. 1차 술어논리도 기호 논리학인데, 명제논리에서도 보았듯이 기호 논리학의 첫 번째 단계는 우리의 생각을 기호로 표시하는 것이다. 명제논리에서는 하나의 문장을 하나의 기호P나 Q로 표시했다. 술어논리는 하나의 문장 P 안에 들어있는 것을 기호로 더 표시할 수 있다. 이것을 위해서는 세상을 바라보는 어떤 사고방식이 필요한데 그것은 세상은 어떤 대상들의 관계로 이루어져있다는 사고방식이다. 단순한 사고방식이다. 불만도 많겠지만, ‘단순하게 생각하는 것’이 여전히 중요하다. 예를 들어서 “내 책상 위에 컴퓨터가 얹혀 있고 우리 집은 서울에 있고… 오바마는 미국 최초의 흑인 대통령으로 당선되었으며 미국은 아프가니스탄에 파병을 하고 한국은 2009년 현재 낮은 출산율로 고민하고 있다“ 등은 모두 ‘책상’, ‘컴퓨터’, ‘나’, ‘집’, ‘서울’, ‘오바마’, ‘미국’, ‘아프가니스탄’ ‘한국’ 등의 대상들이 어떤 관계를 맺음으로써 구성된다고 볼 수 있다. 이것을 반영하여 모든 문장들은 대상들을 표시하는 기호 a, b, c, …와 관계를 표시하는 기호 F, G, H, …를 결합하여 만들어진다. 예를 들어서 “타이타닉은 제임스 카메룬 감독이 만든 영화다”라는 문장은, ‘타아타닉’, ‘제임스 카메룬’이라는 두 대상이 “…은 …이 만든 영화다”라는 관계를 맺고 있음을 설명한다고 이해하는 것이다. 이제 “…은 …이 만든 영화다”를 M이라는 기호로 쓰고, 타이타닉을 t, 제임스 카메룬을 j로 쓰면 원래 문장은 기호로 로 표시된다.

‘모든’이란 말은 관계도 아니고 대상도 아니다. 그것은 대상들의 범위를 나타낸다. 우리가 알고 있는 대상들 전부를 ‘모든’이란 말이 표시한다. 그리고 이것은 어떤 대상이나 어떤 관계에 대해서도 같은 의미를 유지한다. 그래서 이것은 고정된 기호 “∀”를 쓴다. 이것은 ‘모든’에 해당하는 영어 “all”의 A를 거꾸로 쓴 것이다. 그래서 “모든 영화는 제임스 카메룬 감독이 만든 영화다”를 기호로 표시하면 “”가 된다. 이 기호를 풀어서 읽어보면 “모든(∀) 어떤 것(x)에 대하여 그것(x)은 제임스 카메룬(j)이 만든 영화라는 관계를 맺고 있다”라는 뜻이다. 이 때 원래의 t 대신에 x가 쓰였는데, x는 변수를 나타낸다. 수학에서와 같다. 논리학에서 x와 같은 변수는 ‘뭔지는 모르지만 어떤 것, 바로 그것’을 의미한다. 더불어서 ‘모든’에 반대되는 말로 ‘어떤’도 도입한다. ‘어떤’은 “∃”라는 기호로 표시한다. 이것은 ‘있다’에 해당하는 영어 “exist”의 E를 거꾸로 쓴 것이다. ‘최소한 하나는 있다’를 뜻한다.

그 다음에 더 생각해야 할 것은 관계들 간에 포함관계가 성립한다는 것이다. 예를 들어서 ‘부자(父子)관계’는 ‘가족관계’의 일부이다. 그래서, 철수가 기철이와 부자(父子)지간이라면 철수와 기철이는 서로 가족관계에 있기도 하다. 그런데 이런 관계는 2개의 대상들이나 3개의 대상들 사이에도 성립하지만 1개의 대상에도 성립한다. 학자들은 그렇게 간주한다. 1개의 대상이 가진 관계를 특별히 ‘속성’이라고 부른다. 이 장미가 붉다면, 그것은 이 장미라는 대상이 붉다는 속성을 가진 것이기도 하고, 혹은 이 장미가 ‘붉다’라는 자신만의 관계에 있는 것이기도 하다. 그렇다면 소크라테스의 죽음에 대한 3단논법은 다음과 같이 번역된다.

 

 


구분

 

보통 문장

 

1차 술어논리 문장

 

대전제

 

모든 사람은 죽는다.

 

∀x(Mx→Dx)

 

소전제

 

소크라테스는 사람이다.

 

Ms

 

결론

 

그러므로 소크라테스는 죽는다.

 

∴ Ds

 

 


그러면 이 3단논법은 어떻게 증명되는가? 이것은 증명될 수 있어야 한다. 왜냐하면 이 3단논법은 옳기 때문이다. 이것을 알기 위해서는 1차 술어논리의 추론규칙들을 알아야 한다. 명제논리에서의 연역규칙들은 1차 술어논리에서 그대로 적용된다. 1차 술어논리에서는 명제논리와는 다른 규칙들이 필요한 것이 아니라, 추가적인 추론규칙들이 더 필요한 것이다. 어떤 규칙들이 더 필요하겠는가?

1차 술어논리를 내용에 대해서 지금까지 설명한 것을 곰곰이 다시 생각해 보면 P→Q와 같은 명제논리에서 P나 Q를 좀더 상세하게 기호로 번역한다는 것을 알 수 있다. 그리고 그렇게 되었을 때 대상과 관계 중에서 대상에 대해서 ‘모든’이라는 의미를 부여할 수 있다. 이것을 전문 용어로 “양화한다”라고 한다. “양화한다”라는 말은 어떤 것에 대해 많고 적음의 양을 표시할 수 있도록 한다는 말이다. ‘모든’은 최대한의 양이라고 보면 된다.

그렇다면 1차 술어논리에서 어떤 규칙들이 더 필요할지 대략 추측할 수 있다. 명제들간의 관계는 명제논리와 같다. 명제 안의 내용, 그리고 양화된 것에 대한 추론 규칙이 더 필요할 것이다. 그래서 1차 술어논리에 더 추가되는 추론규칙은 다음과 같다.

 


연역규칙. 

 

(1) 보편예화

 

∀x(…x…) 

 

그러므로

 

…a…

 

(2) 존재일반화

 

…a…

 

그러므로

 

∃x(…x…)

 

(3) 개별양화

 

∀x(Fx→Gx)

 

그러므로

 

∀xFx→∀xGx

 

동치규칙

 

보편양화 부정법칙

 

~∀x(…x…)

 

 

∃x~(…x…)

 

존재양화 부정법칙

 

~∃x(…x…)

 

 

∀x~(…x…)

 

 


보편예화 규칙의 의미를 설명하겠다. “∀x(…x…)”에서 “…x…”는 x를 포함하는 전체를 가리킨다. 예를 들어서 ‘∀xFx’에서는 ‘Fx’가 ‘…x…’에 해당하고, ‘∀x(Fx→Gx)’에서는 ‘Fx→Gx’가 ‘…x…’에 해당한다. 이 연역규칙의 의미는 이렇다. “모든 남자(x)가 늑대라고 하자, 그러면 그 중 한 남자인 파깨비(a)도 늑대이다.” 당연하지 않겠는가? 논리학의 규칙은 원래 이렇게 당연한 것을 말한다.

존재일반화 규칙도 당연하게 이해할 수 있다. "…a…"가 “a가 13살에 장원급제했다”이고 a가 ‘율곡’이라 하자. 그러면 “율곡이 13살에 장원급제하였다. 그러므로 13살에 장원급제한 사람이 있다”가 당연하게 성립할 것이다. 이 때 “13살에 장원급제한 사람이 있다”를 기호로 표시하면 “∃x(…x…)”가 된다.

개별양화 규칙의 의미는 이렇다. “모든 것이 [바퀴가 있다면(→) 달릴 수 있다]고 하자. 그렇다면 모든 것이 바퀴가 있다면 모든 것은 달릴 수도 있다.” 이것은 좀 헷갈릴 것이다. 앞의 것과 뒤의 것의 차이점을 다른 예로 설명하겠다. 간단히 말하자면, 그 차이점은 주어가 항상 같이 가느냐 따로따로 갈 수 있느냐 하는 점이다. ∀x(Fx→Gx)는 모든 것에 대해서 그 각각의 것이 바퀴가 있다(F)면 달릴 수 있다(G)는 말이다. 한편 ∀xFx→∀xGx는 모든 것이 바퀴가 있다(F)면 모든 것이 달릴 수 있다(G)라는 말이다. (보다 직관적인 예를 찾아서 다시 설명해야 함.)

보편양화 부정법칙은 훨씬 이해하기 쉽다. ‘…x…’가 ‘x는 붉다’를 의미한다고 해 보자. 그렇다면 ‘∀x(…x…)’는 ‘모든 것이 붉다’를 의미한다. ‘~∀x(…x…)’는? ‘모든 것이 붉은 것은 아니다’를 의미할 것이다. 이 의미를 바꿔 말해 보면 이렇다. ‘붉지 않은 것도 있다’. 이것을 기호로 표현한 것이 ‘∃x~(…x…)’이다. 곰곰이 생각해 보면 알 것이다. 존재양화 부정법칙도 동일하다. ‘…x…’가 ‘x는 파랗다’를 의미한다고 하면, ‘~∃x(…x…)’는 “어떤 것도 파랗지 않다”라는 말이 된다. 이것을 ‘모든’이라는 말을 써서 바꿔 보면 “모든 것이 안 파랗다”가 되고 다시 기호로 표시해 보면 ‘∀x~(…x…)’가 된다.

혹시나 해서 부연 설명하자면, “모든 것이 붉다”의 부정은 “모든 것이 붉지는 않다”이지, “모든 것이 파랗다(안 붉다)”는 아니다. “모든 것이 파랗다(안 붉다)”는 부정이 아니라 ‘반대’라고 부른다. 비유하자면 이렇다. ‘하얗다’의 부정은 ‘하얗지 않다’이다. ‘검다’는 ‘하얗다’의 부정이 아니라 반대이다. ‘전부 어떠하다’의 부정은, 말 그대로 그것을 부정해야 한다. ‘전부 어떠어떠한 것은 아니다’가 정확히 그 부정에 해당한다.

부정에 대해서는 진부할 정도로 잘 알려진 마크 트웨인의 일화를 들 수 있다. 미국을 대표하는 작가로 칭송받는 마크 트웨인은 무표정한 얼굴에다 남부의 사투리를 섞어 가면서 유머를 구사했다. 어느 날 그는 어떤 국회의원들의 이름을 거론하며 “어떤 국회의원들은 개자식들이다!”라고 말했고 이것이 신문에 보도가 된 적이 있다. ‘명예훼손’으로 강력한 항의를 받게 된 마크 트웨인은 자신의 말을 정정하겠다고 약속했다. 그 다음에 신문에 난 내용은 이랬다. “어떤 국회의원들은 개자식들이 아니다!” 이런 마크 트웨인의 유머 뒤에 있는 논리는, 자신의 말에 대한 부정을 요구한 국회의원들에 대해서 ‘반대’를 가지고 응수한 것이다. 어떻게 그렇게 되는지 각자 생각해 보자. 나는 잠시 후에 설명하겠다.

그렇다면, 소크라테스의 죽음에 대한 3단논법은 증명될 수 있다. 직접 번역된 기호 문장을 보자. 대전제는 “∀x(Mx→Dx)”이다. 보편예화 법칙에 의해서 Ms→Ds가 도출될 수 있다. 그런데 소전제에서 Ms가 있다. 그렇다면 명제논리의 전건긍정법에 의해서 Ds가 따라나온다. 전건긍정법이 뭔지 잊어 먹었는가? 누구나 그렇다. 익숙해지기 전까지는. 반복하고 반복해야 한다. 전건긍정법을 뒤적여 찾아보면 다음과 같다는 것을 알 수 있을 것이다.

 

(1) 전건긍정법

 

P→Q, P,

 

그러므로

 

Q

 

1차 술어논리에 대해서는 이 정도로 마치겠다. 이 정도가 소나타든 폴크스바겐이든, 혹은 벤츠라도 몰 수 있는 기본 자격증인 2종 보통면허에 해당한다. 혹시나, 혹시나 더 큰 관심이 생긴다면 논리학을 별도로 공부해 보라.


 

<내용을 갖다 붙이기 하니까 표가 모두 깨어지는군요. 표와 그림이 제대로 되어 있는 내용을 보려면

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