[수학비타민] 세상에서 가장 공정한 선거 방법

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수학비타민

2019. 12. 6.



2018년 2월, 평창올림픽 

스포츠 경기도 감동적이었지만, 정치적인 의미도 깊었습니다.

올림픽을 계기로 남북단일팀이 구성되고 

김여정을 비롯한 북한 대표단이 방문하면서 대화의 물꼬가 트였죠.

또 이는 남북정상회담, 북미정상회담으로 이어지게 되었습니다.


이렇게 우리에게 특별했던 평창올림픽이 사실은 2018년이 아니라 그 이전에 열릴 수도 있었습니다.

무슨 말인가하면 동계올림픽이 2010년은 밴쿠버에서, 2014년은 소치에서 개최됐지만 

만약 투표 방식이 달랐다면 평창이 일찍이 그 자리를 차지할 수도 있었다는 거죠.


2010년과 2014년 올림픽 개최지 1차 투표에서 평창은 가장 많은 1위 표를 받았지만

가장 적은 표를 얻은 잘츠부르크를 제외하고 실시된 2차 투표에서 순위가 뒤집혔습니다.

2014년도 마찬가지였구요.

이러한 방식을 '최소득표자 탈락제'라고 합니다.


만약 다수결 방식으로 선정했다면 평창은 이미 2010년 올림픽 개최지가 되었을 것입니다.

오늘은 투표의 수학에 대해 알아보겠습니다.


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투표는 개인 선호도를 반영해서 집단의 선호도를 결정하는 방식이죠.

가장 보편적인게 다수결입니다.

만약 두 가지의 선택지가 있다면 다수결이 적절합니다.

하지만 선택지가 3개 이상이면 달라집니다. 

예를 들어 3명이 녹색, 파랑, 보라 중 좋아하는 색을 순서대로 적어보겠습니다.

초록을 파랑보다 좋아하는 사람이 2명

파랑을 초록보다 좋아하는 사람이 1명

그러니 초록이 파랑보다 인기가 있습니다.


같은 방식으로 파랑과 보라를 비교하면 파랑의 선호도가 높고

보라와 초록을 비교하면 보라의 선호도가 높습니다.

파랑이 보라보다, 보라가 초록보다 선호되기 때문에 파랑이 초록보다 선호된다는 결론이 되겠죠.


그런데 실제 비교에서는 초록이 파랑보다 선호되었습니다.

이런 역설을 콩도로세의 패러독스라고 합니다.


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당선자가 투표 방법에 따라 달라지는 경우를 알려주세요.


학급 대표를 선출하는 투표에서 A,B,C,D 4명이 후보로 출마했고, 선호하는 순서대로 1234위를 적은 결과를 가정해보겠습니다.

우선 <최대득표제>를 적용하면 A,B,C,D의 1위 표는 각각 18표, 3표, 8표, 11표니까 에이가 당선됩니다.

하지만 전체 40표 중에서 A는 50%도 안 되는 18표로 당선된다니 공정하지 않은 면이 있죠.

올림픽 개최지 선정에서 사용된 <최소득표자 탈락제>는 1위 표를 가장 적게 받은 후보를 탈락시키고

그 후보를 배제한 상태에서 다시 1위 표를 가장 적게 받은 후보를 탈락시키는 과정을 반복합니다.


1위 표가 가장 적은 B를 탈락시키고 정산합니다.

여기서 1위 표가 가장 적은 C를 탈락시키고

다시 정산하면 결국 A는 18표, D는 22표니까 D가 당선됩니다.


또 다른 방법으로 <보르다 점수법>이 있습니다.

선호 순위에 따라 점수를 차등해서 부여하고

그 점수를 합산해서 당선자를 결정하는 방식입니다.


1위 4점, 2위 3점, 3위 2점, 4위 1점을 부여하고 

후보자의 점수를 계산하면 가장 점수가 높은 C가 당선됩니다.


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세 가지 방법에 따라 선거 결과가 달라지네요.

하지만 B가 당선되는 일은 없겠지요?


B가 당선되는 방법도 있습니다.

상대비교법은 18세기 프랑스의 사상가이자 수학자인 콩도르세가 제안한 방법으로

후보를 두 명씩 비교해서 점수를 주고, 그 점수를 합산하는 방식입니다.


A, B를 비교해보면 A를 선호하는 경우가 19명 B를 선호하는 경우가 21명, 

따라서 B에 1점을 부여합니다.

이렇게 두 명씩 비교해서 점수를 부여하고 합산하면 B가 3점으로 당선됩니다.



지금까지 알아본 최다득표제, 최소득표자 탈락제, 보르다 점수법, 쌍대비교법 

각 방법에 따라 당선자가 달라집니다.

어떤 방법이 가장 공정할까요?


공정성의 기준에는 과반수 획득 여부, 콩드르세 기준 등 여러 가지가 있는데 

모두를 만족시키는 방법은 없습니다.


이를 밝혀낸게 케네스 애로입니다. 

세 명 이상의 후보자가 있는 선거에서 철저하게 민주적이고 공정한 투표방법은 존재하지 않는다는 게

에로의 불가능성의 정리이고 

에로는 이 업적으로 1972년 노벨 경제학상을 수상했습니다.


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선거는 민주주의의 꽃이라고 합니다.

최다득표제로 당선을 했더라도 불완전한 방법에 의한 결과이니 겸손한 마음을 가져야겠죠.


내년 저의 도전이 어떤 결과를 가져올지 모르지만 

제가 약속드릴 수 있는 것은 하나

저를 지지한 분들과 그렇지 않은 분들 모두에게 

겸손함을 잃지 않겠습니다. 


오늘은 수학을 통해 겸손을 배워봤습니다.

곧 돌아옵니다.

커밍~~~ 쑨!