[수학비타민] 무한도전! 무한의 개념

댓글 0

수학비타민

2020. 2. 17.



무한도전이라는 프로그램 기억하시죠?

무모해 보이는 도전을 다루는 TV프로그램이었습니다.

황소와 줄다리기, 목욕탕 배수구와 대결,

컨베이어 벨트에 연탄 옮겨 쌓기 등, 무한도전, 무도는 시청자들의 사랑을 듬뿍 받았죠.

 

저는 처음에 무한도전이라는 명칭이

유한에 대응되는 무한에 대한 도전이라고 생각했답니다.

저같이 해석하신 분도 적지 않을 텐데요.

 

--

무한 개념이 등장한 것은 고대 그리스 시대입니다.

예를 하나 들어보죠.

A지점에서 B지점까지 움직이려면 필연적으로 그 중간 지점을 통과해야 하죠?

거기까지 도달하는데 시간이 걸립니다.

 

다시 남은 거리의 중간까지 도달하는데 시간이 걸립니다.

또다시 남은 거리의 중간까지 시간이 걸립니다.

이 과정을 무한 번 반복해야 하는데요

그러다보면 B지점에 절대 도착할 수 없다는 주장인데요

 

유한한 시간을 무한 번 더하면 무한이 된다고 생각하기 쉽지만

실제는 유한이 되기 때문에 B지점에 도달할 수 있습니다.

 

이 역설을 제논의 이분법의 역설이라고 합니다.

제논은 고대 그리스의 철학자로 아킬레스와 거북이 역설, 화살의 역설 등으로 유명합니다.

 

무한 개념과 관련해서 유독 패러독스가 많은 이유는

무한에 대해 이해하는 것이 그만큼 어렵다는 방증이겠죠.

 

무한과 관련해서 수학자 힐베르트가 만든 힐베르트 호텔을 소개하겠습니다.

무한개의 방을 가진 호텔과 영리한 지배인이 있습니다.

어느 날, 이 호텔 방이 꽉 차게 되었는데, 한 손님이 왔습니다.

이 손님에게 방을 줄 수 있을까요?

할 수 있습니다.

 

방법은 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 3호실로

이렇게 연쇄적으로 해서 n호실 손님은 n+1호실로 옮기면

1호실이 비게 됩니다.

 

이런 식으로 이동시키면 여러 명의 손님이 와도 빈방을 만들어낼 수 있습니다.

 

그런데 이번에는 무한히 많은 손님이 도착했습니다.

어떻게 할까요?

이 경우도 해결할 수 있습니다.

 

n호실 손님을 2n호실로 옮기면

홀수 번호 방은 모두 비게 됩니다.

그럼 무한히 많은 새로운 손님을 받을 수 있겠죠.

 

홀수도 무한개, 짝수도 무한개, 자연수도 무한개라는 것을 이용하는 건데요

실제 자연수뿐 아니라, 정수, 유리수, 실수의 개수는 모두 무한인데

무한에도 레벨이 있습니다.

이를 처음 밝혀내면서 무한 개념을 정립한 수학자가 칸토어입니다.

 

짝수, 자연수, 정수, 유리수는 모두 같은 레벨의 무한이고

실수는 무한의 레벨이 다르다는 것입니다.

분명 짝수보다 자연수가 두 배 많을 것 같은데 그렇지 않다는 거죠.

 

이는 전체는 부분보다 크다는 통념에 반하는 것으로

당대 수학계의 엄청난 반발을 가져왔습니다.

 

칸토어는 그 때문인지 환상과 환청에 시달리며 정신병원에서 생을 마감했습니다.

 

--

무한과 관련된 다른 예도 알려두세요.

 

단순한 덧셈을 해볼까요?

1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+.... 은 얼마일까요?

 

첫 항부터 두 항씩 더하면 각각 상쇄되어 0이 되니까 합은 0이 되겠죠?

둘째 항부터 두 항씩 더하면 0이 되고

첫째항이 남아 있으니 이번에는 합이 1이 되겠죠.

 

다른 방법도 있습니다.

이 합을 S라하고 양변에 1을 곱하고 위의 식에서 아래 식을 빼면

2S=1

이 경우는 합이 1/2이 되겠죠.

 

--

다들 그럴듯한데 정답은 무엇인가요?

 

사실 어느 것도 정답이 아닙니다.

유한에서 통용되는 계산 규칙을 무한으로 일반화하는게 쉽지 않다는 것을 보여주는 예입니다.

 

자유로운 사고로 무한의 세계를 탐구한 천재 수학자 칸토어는 이런 말을 남겼습니다.

수학의 본질은 자유로움에 있다

 

제가 제일 좋아하는 수학 명언입니다.

 

--

저는 이번 3월 총선에서 험난한 도전을 하고 있습니다.

민주당의 불모지로 여겨지는 서초에서 저의 무한도전 응원해 주실 거죠!

무모한 도전이 아니라 무한한 승리로 끝나는 도전이 될 것입니다.

무한도전!

 

하지만 이게 빠지면 안 되죠?

커밍~~~ !